Jul 2, 2019

La dérivée dans les mathématiques matékistes

''Mudjambe ama rekimine, mba ama gwé pinze''

La rivière a des méandres parce qu'elle est allée seule. 

 


    Dérivé de quotient de fonction

    Soient uu, vv deux fonctions dérivables sur un intervalle IIvv ne s'annule pas.
    Alors 1v\frac{1}{v}
    et uv\frac{u}{v}
    sont dérivables, de dérivées données par :
    (1v)=vv2(\frac{1}{v})'=-\frac{v'}{v^2}
    (uv)=uvuvv2(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}
  • Sens de variation d'une fonction dérivable

    Soit ff une fonction dérivable définie sur un intervalle II.
    Si ff' est positive sur II, alors ff est croissante sur II.
    Si ff' est négative sur II, alors ff est décroissante sur II.
  • Extrema d'une fonction dérivable

    Soit ff une fonction dérivable définie sur un intervalle ouvert II, et aIa \in I.
    Si ff admet un extremum (minimum ou maximum) en aa, alors f(a)=0f'(a) = 0.
    Si ff' s’annule et change de signe en aa, alors ff admet un extremum local en aa.
  • Tangente en un extremum

    Soit ff une fonction dérivable définie sur un intervalle ouvert II admettant un extremum en un réel aa de II.
    Comme f(a)=0f '(a)=0, la courbe représentative de la fonction ff admet au point de coordonnées (a;f(a))(a;f(a)) une tangente horizontale d'équation :
    y=f(a)y = f(a)


Exemple :
f(x) = x^5 - x^2 + 12
La dérivée de x5 est 5x4, la dérivée de x2 est 2x, la dérivée de 12 est 0 car 12 est une constante. On a alors :
f'(x) = 5x^4 - 2x + 0
On dérive tranquillement chaque terme, il faut juste faire attention à mettre le bon signe à chaque fois (+ ou -).
Et les constantes multiplicatives ?
Ce qu’on appelle constante multiplicative, ce sont les réels qui sont liés aux x.
Par exemple dans
f(x) = 7x^9 - 8x^3 + 5
le 7 et le 8 sont des constantes multiplicatives, car elles sont liées à des x, tandis que le 5 est une constante tout court, il n’y a pas de x avec lui.
Alors comment fait-on ?
Là aussi c’est très simple, dans la dérivée on réécris la constante multiplicative et on dérives tranquillement le reste.
Exemple :
f(x) = 9x^5
f'(x) = 9\times 5x^4
la dérivée de x5 est 5x4, on a donc
f'(x) = 45x^4
 on a réécris le 9 et on a ensuite dérivé le x5.
Evidemment après on calcule 9 × 5, on ne laisse surtout pas le 9 × 5x4 comme ça^^
Bien sûr on peut avoir des sommes de fonctions avec des constantes multiplicatives :
f(x) = 7x^9 - 8x^3 + 5
Et tout naturellement, on dérive chaque terme en recopiant le constante multiplicative à chaque fois :
f'(x) = 7\times 9x^8 - 8\times 3x^2 + 0
f'(x) = 63x^8 - 24x^2


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