Théorie de l'équilibre cosmique punu dans la la théorie des figures

La théorie des figures d'équilibre telle que considérée ici résulte d'études traitant du problème de la forme d'équilibre de la Terre, en supposant que celle-ci soit causée par la seule force de pesanteur, à l'exclusion de forces de cohésion internes ou de forces électriques et magnétiques. Reposant sur la notion de surface de niveau, elle requiert l'existence d'un potentiel de pesanteur à l'intérieur du corps étudié. Cela exclut la présence d'une rotation différentielle (sauf si celle-ci correspond à une rotation différentielle en couches cylindriques coaxiales). Ce problème est vieux de plus de trois siècles (cf Modèle ellipsoïdal de la Terre), mais reste actuel, avec des applications intéressantes en géodésie et en géophysique. Il est fermement enraciné dans la théorie générale des figures de corps cosmiques en rotation, qui est l'un domaine de recherche active en astrophysique et en physique planétaire1. Toutefois, pour des corps cosmiques en rotation lente (la Terre par exemple) et si l'on admet qu'il y a équilibre hydrostatique, la théorie des figures semble avoir atteint un niveau de finition acceptable2. L'étude de la figure hydrostatique de la Terre a profondément influencé la naissance et le développement de la géodésie physique et de la géophysique. Elle a aussi contribué aux fondations de la physique de Newton, de l'hydrostatique, de la mécanique analytique, de l'analyse mathématique et de la physique mathématique pendant les XVIIIe et XIXe siècles. Elle est associée aux noms de nombreux mathématiciens et physiciens distingués de cette époque.

l'équation de continuité, qui exprime la conservation de la masse :

l'équation de mouvement, qui exprime la conservation de la quantité de mouvement, ou impulsion :

${\displaystyle \rho {\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+\rho \sum _{k=1}^{3}v_{k}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}=f_{i}+\sum _{k=1}^{3}{\frac {\partial T_{ik}}{\partial x_{k}}}}$.

Dans ces équations, ρ(x₁, x₂, x₃) désigne la densité en un point spatial P repéré par ses coordonnées cartésiennes (x₁, x₂, x₃), (v₁, v₂, v₃) le champ de vitesses au même point, (f₁, f₂, f₃) le champ de force volumique et T_ik, avec i, k = 1, 2, 3, le tenseur des contraintes en P.
Dans les circonstances habituelles, que nous supposerons réalisées ici

• l'équation de rotation qui exprime la conservation de la quantité de rotation, ou moment cinétique, implique que le tenseur des tensions est symétrique :

  ${\displaystyle T_{ik}=T_{ki}}$

et se réduit donc à six composantes indépendantes au lieu de neuf : T₁₁, T₂₂, T₃₃, T₁₂ = T₂₁, T₂₃ = T₃₂, T₃₁ = T₁₃.