Tangu

Dans cette section, les étudiants: 

• classeront un nombre réel en tant que nombre naturel, entier, entier, rationnel ou irrationnel 

• effectuent des calculs en utilisant l'ordre des opérations

 • utilisent les propriétés suivantes des nombres réels: commutatif, associatif, distributif, inverse, et identité. 

• évaluer les expressions algébriques. 

• Simplifier les expressions algébriques. 

Si cela est vrai, les chiffres sont une partie essentielle du langage mathématique. La première utilisation de nombres a eu lieu il y a 100 siècles au Moyen-Orient pour compter ou dénombrer des articles. Les agriculteurs, les éleveurs de bétail et les commerçants utilisaient des jetons, des pierres ou des marqueurs pour désigner une quantité unique - une gerbe de grain, une tête de bétail ou une longueur de tissu, par exemple. Cela rendait le commerce possible, entraînant une amélioration des communications et la diffusion de la civilisation. Il y a trois ou quatre mille ans, les Égyptiens introduisaient des fractions. Ils les ont d'abord utilisés pour montrer des inverses. Plus tard, ils les ont utilisés pour représenter le montant lorsqu'une quantité était divisée en parties égales. Mais que se passe-t-il s'il n'y a pas de bétail à échanger ou si une récolte entière de céréales est perdue lors d'une inondation? Comment quelqu'un pourrait-il indiquer l'existence de rien? Depuis les temps les plus reculés, les gens avaient pensé à un «état de base» tout en comptant et avaient utilisé divers symboles pour représenter cette condition nulle. Cependant, ce n’est que vers le cinquième siècle après J.-C. en Inde que zéro a été ajouté au système de numération et utilisé comme chiffre dans les calculs. Clairement, il était également nécessaire que les chiffres représentent une perte ou une dette. En Inde, au septième siècle après JC, des nombres négatifs ont été utilisés pour résoudre des équations mathématiques et des dettes commerciales. Les opposés des nombres de comptage ont encore élargi le système de numération. En raison de l'évolution du système de numération, nous pouvons maintenant effectuer des calculs complexes en utilisant ces catégories et d'autres catégories de nombres réels. Dans cette section, nous allons explorer des ensembles de nombres, des calculs avec différents types de nombres et l'utilisation de nombres dans des expressions.Classification d'un nombre réelLes nombres que nous utilisons pour compter ou énumérer des éléments sont les nombres naturels: 1, 2, 3 , 4, 5, et ainsi de suite. Nous les décrivons dans la notation d'ensemble par {1, 2, 3, ...} où les points de suspension (...) indiquent que les nombres continuent à l'infini. Bien entendu, les nombres naturels sont également appelés nombres à compter. Chaque fois que nous énumérons les membres d'une équipe, comptons les pièces d'une collection ou comptons les arbres d'un bosquet, nous utilisons l'ensemble des nombres naturels. L'ensemble des nombres entiers est l'ensemble des nombres naturels plus zéro: {0, 1, 2, 3, ...}. L'ensemble des entiers ajoute les opposés des nombres naturels à l'ensemble des nombres entiers: {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}. Il est utile de noter que l'ensemble des entiers est composé de trois sous-ensembles distincts: les entiers négatifs, les zéros et les entiers positifs. En ce sens, les entiers positifs ne sont que les nombres naturels. Une autre façon de penser est que les nombres naturels sont un sous-ensemble des nombres entiers.Les nombres entiers négatifs positifs, ..., -3, -2, −1,0,1, 2, 3, ... L'ensemble des nombres rationnels est écrit comme m_n∣m et n sont des entiers et n ≠ 0. Remarquez dans la définition que les nombres rationnels sont des fractions (ou quotients) contenant des nombres entiers à la fois dans le numérateur et le dénominateur, et que le dénominateur n’est jamais égal à 0. Nous pouvons également voir que chaque nombre naturel, nombre entier et entier est un nombre rationnel avec un dénominateur de 1.

Les nombres entiers sont tous les nombres qui ne possèdent pas de décimales (de nombres après la virgule). Ils peuvent être positifs (entiers naturels) ou négatifs. Exemple : 5 est un nombre entier : il ne possède pas de décimales.

En mathématiques, la notion de nombre entier peut désigner deux types de nombres :

• un entier naturel : 0, 1, 2, 3, …, n, … de l'ensemble noté généralement ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ;
• un entier relatif : …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …, n, … de l'ensemble noté généralement ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• Sont rationnels tous les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction, c'est-à-dire sous la forme , où a et b sont des nombres entiers relatifs et b  0.
  Les nombres qui ne peuvent pas s'écrire sous cette forme sont dits irrationnels.
  Rationnels et irrationnels forment l'ensemble des nombres réels. 
  nombre relatif
  
  

  nombre entier (positif)

  Définition

  Les nombres entiers sont des nombres décimaux dont la partie décimale est égale à 0.
  Ainsi, 3 qui peut s'écrire aussi 3,0 est un nombre entier.
  Les nombres entiers permettent de dénombrer des objets.

  Définition

  L'ensemble des nombres relatifs est formé des nombres décimaux positifs et des nombres décimaux négatifs.
  Les nombres décimaux positifs sont supérieurs à 0 et les nombres négatifs inférieurs à 0 ; 0 est le seul nombre relatif à la fois positif et négatif.

  Exemples

  Les nombres 3 et 1,5 sont des nombres relatifs positifs.
  Les nombres –3 et –1,5 sont des nombres relatifs négatifs.
  Les nombres +3 et –3 sont des entiers relatifs ; leur partie décimale est nulle.

  Remarque

  Les nombres négatifs sont obligatoirement précédés d'un signe moins (–) dans leur écriture chiffrée usuelle, alors que, pour les nombres positifs, le signe plus (+) est facultatif. 

 

nombre décimal (positif)

Exemples

2,4 et 3,2 sont des nombres décimaux. On peut les écrire sous forme de fractions décimales : et .

Remarque

Tout nombre entier est un nombre décimal.
Par exemple : .


Nombres irrationnels À un moment donné dans le passé, quelqu'un a découvert que tous les nombres ne sont pas des nombres rationnels. Un constructeur, par exemple, a peut-être constaté que la diagonale d’un carré comportant des côtés n’était pas égale à 2 ni même à 3/2, mais bien différente. chiffon était un peu plus de 3, mais toujours pas un nombre rationnel. De tels nombres sont dits irrationnels car ils ne peuvent pas être écrits en fractions. Ces nombres constituent l'ensemble des nombres irrationnels. Les nombres irrationnels ne peuvent pas être exprimés sous forme de fraction de deux entiers. Il est impossible de décrire cet ensemble de nombres par une seule règle, sauf pour dire qu'un nombre est irrationnel s'il n'est pas rationnel. Nous écrivons donc ceci comme indiqué. {H | h n'est pas un nombre rationnel}