Excursions en mathématiques modernes1 Excursions en mathématiques modernes Sixième édition Peter TannenbaumChapitre 11 Symmetry Mirror, Mirror, Off the WallAperçu / apprentissage de la symétrie Objectifs Décrire les
mouvements rigides de base de l'avion et indiquer leurs propriétés. Classer les symétries possibles de toute forme ou objet bidimensionnel fini. Classer les symétries possibles d'un motif de bordure. Symétrie 11.1 Motions rigidesSymétrie - Symétrie d'un triangle En termes de symétrie, en quoi ces triangles diffèrent-ils? Lequel est le plus symétrique? Moins symétrique?Symétrie Disons, pour commencer, que la symétrie est une propriété
d’un objet qui ressemble à un observateur situé à différents points de
vue. Ainsi,
nous pouvons considérer la symétrie comme une propriété liée à un objet
pouvant être déplacé de telle manière que lorsque tout le déplacement
est effectué, l’objet est exactement comme avant.Symétrie - Mouvement rigide Le fait de prendre un objet et de le
déplacer d'une position de départ à une position de fin sans modifier sa
forme ou sa taille s'appelle un mouvement rigide tel qu'illustré en
(a).Symétrie - Mouvement rigide Si la forme est modifiée, le mouvement n'est pas rigide, comme illustré en (b).Mouvements rigides équivalents à la symétrie - deux mouvements
rigides qui déplacent un objet d'une position de départ A vers une
position de fin B. Mouvements rigides de base du plan - tout mouvement
rigide équivaut à une réflexion, une rotation, une translation ou un
glissement réflexion.Symétrie Image - notée P et informellement M déplace P vers P. Point
fixe - Il peut arriver qu'un point P soit reculé sous M, auquel cas on
appelle P un point fixe du mouvement rigide M.Symétrie 11.2 RéflexionsSymétrie - Réflexion Un reflet dans le plan est un mouvement rigide
qui déplace un objet dans une nouvelle position qui est une image miroir
de la position de départ. En deux dimensions, le «miroir» est une ligne appelée axe de réflexion.Symétrie - Réflexions d'un triangle La figure ci-dessus montre trois cas de réflexion d'un triangle ABC. Dans tous les cas, le triangle réfléchi A ´ B´C est affiché en rouge. Dans (a) l'axe de réflexion, je ne coupe pas le triangle ABC.Symétrie - Réflexions d'un triangle Dans (b) l'axe de réflexion l
coupe le triangle ABC - ici les points où je croise le triangle sont des
points fixes du triangle. En (c) le triangle réfléchi A ´ B´C tombeSymétrie - Réflexions d'un triangle au sommet du triangle d'origine ABC. Le sommet B est un point fixe du triangle, mais les sommets A et C intervertissent les positions sous le reflet.Symétrie Faits utiles sur la réflexion Une réflexion est complètement déterminée par son axe l.l. Une réflexion est complètement déterminée par une seule paire image-point P et P (tant que P n'est pas un point fixe). Une réflexion est un mouvement rigide impropre. Si la même réflexion est appliquée deux fois, chaque point se termine exactement là où il a commencé.Symétrie 11.3 RotationsSymétrie Une rotation est définie en donnant le rotocentre et
l'angle de rotation. La figure de droite illustre comment une rotation
dans le sens des aiguilles d'une montre avec le rotocentre (le point O
qui agit comme centre de la rotation) et l'angle de rotation actually la mesure d'un angle indiquant la quantité de rotation déplace un point P au point P.Symétrie - Rotations d'un triangle Ce qui précède illustre trois cas de rotation d'un triangle ABC. Dans tous les cas, le triangle réfléchi A´B´C A´B´C est indiqué en rouge. Dans (a) le rotocentre O est en dehors du triangle ABC. Symétrie - Rotations d'un triangle Dans (b) le rotocentre O est au centre du triangle ABC. Dans
(c) la rotation à 360 ° ramène chaque point à sa position initiale - du
point de vue du mouvement rigide, comme si le triangle n’avait pas
bougé.Symétrie Faits utiles sur la rotation Une rotation à 360 ° équivaut au mouvement d'identité. Une rotation est un mouvement rigide approprié. Une rotation est complètement déterminée par deux paires image-point, P, P et Q, Q.Symétrie Faits utiles sur la rotation (suite) Une rotation qui n’est
pas le mouvement identitaire n’a qu’un seul point fixe - le rotocentre
O.O. La
combinaison d'une rotation dans le sens des aiguilles d'une montre avec
le centre de rotation O et d'un angle avec une rotation dans le sens
inverse des aiguilles d'une montre avec le même centre de gravité et
l'angle donne un mouvement rigide à l'identité. Symétrie 11.4 TraductionsSymétrie - Traductions d'un triangle Cette figure illustre la traduction d'un triangle ABC. La
figure présente trois flèches «différentes», mais elles ont toutes la
même longueur et la même direction. Elles décrivent donc le même vecteur
de traduction v.v.Symétrie Faits utiles sur la traduction Une traduction est
entièrement déterminée par une seule paire image-point P et P. Une
traduction n'a pas de points fixes. Une traduction est un mouvement rigide approprié. La combinaison d'une traduction avec le vecteur v et d'une traduction avec le vecteur - v donne l'identité du mouvement rigide.Symmetry 11.5 Glide Reflections
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